OpenCV人臉識別Eigen算法源碼分析

1 理論基礎

學習Eigen人臉識別算法需要了解一下它用到的幾個理論基礎，現總結如下：

1.1 協方差矩陣

 首先需要了解一下公式：

共公式可以看出：均值描述的是樣本集合的平均值，而標准差描述的則是樣本集合的各個樣本點到均值的距離之平均。以一個國家國民收入為例，均值反映了平均收入，而均方差/方差則反映了貧富差距，如果兩個國家國民收入均值相等，則標准差越大說明國家的國民收入越不均衡，貧富差距較大。以上公式都是用來描述一維數據量的，把方差公式推廣到二維，則可得到協方差公式：

協方差表明了兩個隨機變量之間的相關性，值為正說明兩者是正相關的，值為負說明兩者是負相關的，值為零說明兩者不相關，舉一個簡單的小例子，假設一個人用4個維度身高、體重、距離屋頂的高度、每天畫畫的時間來表示：身高取樣X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]，體重取樣Y=[11 12 13 14 15 16 17 18 19]，距離屋頂的高度取樣Z=[9 8 7 6 5 4 3 2 1]，每天畫畫時間L=[1 1 1 1 1 1 1 1 1]，則有cov(X,Y)=7.5，cov(X,Z)=-7.5，cov(X,L)=0，結果很明顯X和Y協方差為正數兩者正相關，X和Z協方差為負數兩者負相關，X和L協方差為0，說明它們不相關。以上例子每一個隨機變量都可以表示一個維度，我們計算了部分維度之間的協方差，計算所有維度之間的協方差並組織成矩陣的形式，就有了協方差矩陣的概念：C_nxn=[c_i,j]=[cov(Dim_i,Dim_j)]   i,j=1,2,…,n，Dim_i表示第i個維度向量。以Matlab協方差矩陣為例，將X，Y，Z，L分別作為1，2，3，4個維度，則有c_1,1=7.5，c_1,2=7.5，c_1,3=-7.5，c_1,4=7.5……，所以協方差矩陣為：

在Matlab中可以把矩陣的每行看做是4個隨機變量的一組取樣樣本，每列看做是一個維度，則可以直接用con函數求得4個維度的協方差矩陣：

OpenCV官方教程中文版（For Python） PDF  http://www.linuxidc.com/Linux/2015-08/121400.htm

Ubuntu Linux下安裝OpenCV2.4.1所需包 http://www.linuxidc.com/Linux/2012-08/68184.htm

Ubuntu 12.04 安裝 OpenCV2.4.2 http://www.linuxidc.com/Linux/2012-09/70158.htm

CentOS下OpenCV無法讀取視頻文件 http://www.linuxidc.com/Linux/2011-07/39295.htm

Ubuntu 12.04下安裝OpenCV 2.4.5總結 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-06/86704.htm

Ubuntu 10.04中安裝OpenCv2.1九步曲 http://www.linuxidc.com/Linux/2010-09/28678.htm

基於QT和OpenCV的人臉識別系統 http://www.linuxidc.com/Linux/2011-11/47806.htm

[翻譯]Ubuntu 14.04, 13.10 下安裝 OpenCV 2.4.9  http://www.linuxidc.com/Linux/2014-12/110045.htm

1.2 Jacobi迭代法求對稱矩陣特征向量及特征值

 雅可比迭代法的基本思想是：通過一組平面旋轉變換（相似正交變換）化對稱矩陣A為對角矩陣，進而求出A的特征值與特征向量。由線性代數理論可知：若矩陣A是實對稱矩陣，則一定存在正交矩陣U，使得U^T*A*U=D，其中D對角矩陣，其主對角線元素λ_i是A的特征值，正交矩陣U的第i列是A對應特征值λ_i的特征向量。於是求對稱矩陣A的特征值問題轉化為尋找正交矩陣U，使得U^T*A*U為對角矩陣，這個問題的困難在於如何構造U，為此我們先看一下平面上的旋轉變換：

則有：

其中：

上述推導其實說明了一種構造正交矩陣P，並使得P^T*A*P為對角矩陣的方法，可以將這種方法推廣到nxn對角矩陣，首先引入n階旋轉矩陣（Givens矩陣）的概念：

平面旋轉矩陣有如下性質：

（1）U_pq為正交矩陣，即U_pq^T*U_pq=E

^（2）U^TAU=B仍為對稱矩陣，且B與A有相同的特征值

Jacobi迭代法，在每一次迭代時都是進行一次（2）中的轉換，這裡p、q分別是前一次的迭代矩陣A的非主對角線上絕對值最大元素的行列號，變換後元素值可以由以下公式求出：

由公式可以看出轉換後矩陣相比原矩陣只是在p，q行和列的元素發生了改變，旋轉角的計算過程和2維時一樣，其意義是使得apq和aqp值為零，這樣每次迭代都使得非對角線上絕對值最大的元素變為零，所以整個迭代的過程就是使對角線外元素逐步逼近於零，這是對角線上的元素即為原對稱矩陣的特征值λ_i。在進行Jacobi迭代時，假如i次迭代時旋轉矩陣為Ui，每次迭代對單位矩陣I依次左乘Ui，最終迭代結束後可得矩陣D=U_k…U₂U₁I，這裡k為迭代次數，則可以證明D的列向量即為特征值λ_i對應的特征向量，證明如下：

上述推導過程中d_i為矩陣D的i列表示的列向量，由最後的等式及特征值定義，可以得知λ_i是A的特征值，d_i為對應的特征向量。

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