我們在這一篇《模式識別、推薦系統中常用的兩種矩陣分解-----奇異值分解和非負矩陣分解 》中詳細介紹了矩陣奇異值分解的數學證明，我們沿用這一篇的博文的符號，繼續討論這一章的內容。
矩陣的奇異值分解定理：
設矩陣，秩為，，則該矩陣可以分解為：
也可以表示為：
。
其中：為矩陣（或者）的非零向量,為的對應特征向量，為的對應特征向量，。
SVD的第一個作用之低秩近似（Low Rank Approximation）：
，，
即用矩陣近似。
SVD的第二個作用之特征降維（Dimensionality Reduction）：
假設特征是按列存儲的，即：
，
其中，。
我們在低秩近似中已經用近似表示了。
則根據分塊矩陣的乘法，我們很容易得到：
，。
令：
。
因為，是相互正交的，所以根據
，
顯然可以得出，可以近似由，張成，所以我們得出結論：
m維的，可以降到維的，。