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模式識別、推薦系統中常用的兩種矩陣分解-----奇異值分解和非負矩陣分解

第一部分:矩陣的奇異值分解:

矩陣的奇異值分解證明過程中會用到五個定理,先作為補充知識展示這五個定理:

定理一:A是對稱矩陣,則不同特征值對應的特征向量是正交的。

證明:設,是矩陣A的特征向量,且,,為,對應的特征向量,即:

因為A是對稱矩陣,則

所以,

則:

因為

所以:

即:和是正交的。證畢

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定理二:矩陣和它的轉置具有相同的特征值

證明:因為:

即和有相同的特征多項式,所以有相同的特征值。

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定理三:半正定矩陣的特征值均大於等於零

證明:這是半正定矩陣的定義

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定理四:若滿足,則稱是單位正交矩陣

單位正交矩陣有如下的性質:。

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定理五:若矩陣的秩為r,則和秩均為r。

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補充完以上五個定理,我們正式開始矩陣的奇異值分解的證明。

 

設矩陣,矩陣的秩為,且,則矩陣可以分解為如下形式:

 

也可表示為:

證明:無非就是尋找。

顯然,,且這兩個矩陣均是半正定矩陣,且互為轉置,且根據定理五,這兩個矩陣的秩均為。根據定理二和定理三,這兩個矩陣的特征值是相同的,且均大於等於零。我們只用大於零的特征值。設(我們按從大到小排序即:)是它們的不為零的特征值,且對於矩陣對應的單位特征向量為(),對於矩陣對應的單位特征向量為(),即

,。

其實和存在一定的關系,下面就找出這種關系。

因為

所以,是的特征向量,又因為也是的特征向量,所以,

又因為

所以:

則:

,

所以,

那麼

 

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